不可压流体力学方程组解的适定性和正则性研究

本书聚焦不可压流体力学方程组前沿理论，围绕经典及多物理场耦合流体模型的核心学术问题展开系统研究。全书以不可压Navier-Stokes方程组理论为基础，进一步拓展至磁流体、磁微极、液晶、Boussinesq等复杂耦合方程组模型，结合物理背景剖析耦合方程组带来的数学难题，依托Littlewood-Paley理论、能量方法等经典工具，论证各类方程组在临界函数空间下的适定性、正则性及时空衰减特性，构建了完整的流体方程理论分析体系。
本书兼顾学术严谨性与内容可读性，细化理论推导细节，关联物理实际场景，搭建起理论与应用的认知桥梁，弥补了复杂耦合流体方程专项研究内容的短板。
本书可作为数学、流体力学、材料物理等专业研究生与相关领域学者的参考用书，也可供从事相关工程与物理领域研究的科研人员查阅使用。

流体力学作为经典力学与现代数学深度交叉融合的核心研究领域，承载着连接基础理论与工程实践的重要使命，其核心研究载体—各类非线性偏微分方程组的适定性与正则性问题，不仅是当代数学分析领域尚未完全破解的重大科学挑战，更对揭示流体运动的本质规律、指导工程技术创新、阐释复杂物理现象具有不可替代的核心意义。从航空航天领域的飞行器流体动力学设计、发动机内部气流调控，到气象科学中的大气环流模拟、短期灾害性天气（如雷暴、暴雨）的精准预测；从生物医学领域的动物体内血液流动、细胞内液相传质机理阐释，到材料科学中的液晶材料运动、导电聚合物流体调控等复杂场景的机理剖析，流体力学方程组的理论突破与方法创新，始终是推动相关领域高质量发展的关键动力，也成为衡量一个国家基础科学研究水平与工程技术实力的重要标志之一。不可压Navier-Stokes方程组作为描述黏性不可压缩流体运动的基础数学模型，自提出以来便成为流体力学与偏微分方程领域的研究核心，其弱解的唯一性与正则性问题更是被列为千禧年七大数学难题之一，吸引了全球范围内数学家、物理学家与工程师的持续关注与深入探索。尽管经过近两个世纪的研究，学者们已在该方程组的理论分析与数值求解方面取得了丰硕成果，但关于弱解的光滑性、整体存在性等核心问题，至今仍未得到完整解决，成为困扰学界的核心难题。在此基础上，随着现代工程技术与物理研究的不断拓展，实际应用场景中流体的运动规律往往受到电磁作用、微极效应、液晶分子取向效应、温度梯度等多种复杂因素的耦合影响，单一的经典Navier-Stokes方程组已难以精准刻画这类复杂流体的运动特性。由此，考虑多物理场耦合效应的各类复杂方程组—如不可压磁流体（MHD）方程组、磁微极方程组、液晶方程组、Boussinesq方程组等，逐渐成为当前流体力学方程研究的热点与前沿方向。
这类复杂耦合方程组既继承了经典Navier-Stokes方程组的强非线性、强耦合等核心特征，又因多物理场、多尺度耦合带来了更复杂的数学结构与更严苛的理论挑战，其适定性（解的存在性、唯一性、稳定性）、正则性（解的光滑性、有界性）及时空衰减性等问题的深入研究，不仅是对经典流体力学理论的延伸与拓展，还完善了非线性偏微分方程的理论体系，更为解决航空航天、能源动力、生物医学、 材料科学等领域的实际工程与物理问题提供了关键的理论支撑与数学工具，具有重要的理论研究价值与实际应用前景。
本书聚焦于不可压流体力学相关方程组的核心理论问题，立足当前该领域的研究前沿与发展趋势，系统梳理并深入探讨了各类不可压流体方程组的适定性与时空正则性，旨在为相关领域的研究人员提供一套完整、严谨的理论分析框架与研究思路。全书以经典不可压Navier-Stokes方程组的理论框架为基础，遵循“基础理论一复杂拓展一方法创新”的学术脉络，逐步将研究范围拓展至各类复杂耦合方程组，构建了清晰、连贯的研究体系。书中首先系统回顾了不可压Navier-Stokes方程组的物理背景、发展历程与研究进展，重点阐述了Leray-Hopf弱解理论的核心思想、Serrin类正则性准则的推导逻辑，以及临界空间框架在正则性研究中的应用价值，为后续复杂方程组的研究奠定了坚实的理论基础；随后，依次展开对不可压磁流体方程组、磁微极方程组、液晶方程组、Boussinesq方程组等复杂模型的深入研究，结合各类方程组的物理背景，剖析多物理场耦合带来的数学挑战，探索针对性的理论分析路径，厘清耦合机制对解的正则性与衰减性的影响；最后，依托Littlewood-Paley理论、热半群估计、压缩映射原理、能量方法等关键数学工具，系统论证了各类方程组在临界Lebesgue空间、临界Besov空间等经典函数空间框架下的局部/整体适定性、正则性及时空衰减估计，形成了一套涵盖“物理建模一理论分析一方法应用”的完整理论分析体系。
在本书的撰写过程中，始终兼顾理论的严谨性与内容的可读性，力求实现“学术深度”与“易懂性”的有机统一。一方面，严格遵循数学推导的严谨性原则，详细推导了书中关键定理的证明过程，系统梳理了Littlewood-Paley分解、Bony仿积分解、Gronwall不等式、插值不等式等核心数学工具的应用逻辑，补充了关键步骤的推导细节，确保学术推导的完整性、准确性与逻辑性，满足专业研究人员的需求；另一方面，注重理论与物理背景的深度结合，清晰阐释了各类方程组中各物理量的内涵、耦合项的物理意义，以及尺度不变性、耗散性等核心性质对研究框架构建的指导作用，帮助读者建立“物理背景—数学建模—理论分析—实际应用”的完整认知链条，兼顾研究生、青年学者等读者群体的阅读需求，助力其快速掌握该领域的核心理论与研究方法。
本书的研究成果，既是对非线性偏微分方程理论体系的丰富与完善，也为航空航天、能源动力、生物医学、材料科学、气象科学等相关工程与物理领域的应用提供了重要的理论参考与技术支撑。书中内容涵盖了从基础理论到前沿研究的完整脉络，系统整合了作者多年来的研究积累与国内外相关领域的最新研究成果，可供数学与应用数学专业的研究生、青年学者，以及从事流体力学、电磁流体力学、材料物理、气象科学、生物医学工程等领域研究的科研人员、工程师参考使用。需要说明的是，阅读本书需要读者具备一定的泛函分析、偏微分方程基础，以及初步的流体力学知识，以便更好地理解书中的理论推导与学术观点。
在本书的撰写过程中，广泛借鉴了国内外众多学者的研究成果与学术思想，相关文献已在书中相应位置详细标注。在此，谨向各位前辈、同仁致以最诚挚的谢意与崇高的敬意，感谢他们为该领域的发展所付出的辛勤努力与做出的卓越贡献。同时，衷心感谢在研究与撰写过程中给予支持与帮助的同事、学生，感谢他们在理论推导、文献梳理、内容校对等方面提供的无私协助；感谢为本书出版付出辛勤努力的编辑团队，他们严谨细致的工作态度、专业高效的工作效率，为本书的顺利出版提供了有力保障。由于流体力学方程理论研究是一个不断发展、 不断完善的领域，加之作者学识有限，书中难免存在疏漏、不足与值得进一步探讨的地方，恳请广大读者与同行批评指正，以期共同推动该领域的理论进步与学术发展。
特别地，谨向郭柏灵院士、我的恩师姚正安教授致以最崇高的敬意与最衷心的感谢。郭柏灵院士在流体力学与偏微分方程领域深耕多年，其深厚的学术造诣、 严谨的治学态度与开阔的学术视野，为我指明了研究方向；姚正安教授在我多年的学术研究与本书撰写过程中，给予了悉心点拨与不倦教诲，从研究思路的梳理到理论难题的攻克，从内容框架的搭建到文字表述的完善，都倾注了大量心血，是我学术道路上的引路人与坚强后盾。同时，感谢杜毅教授在学术探索过程中的热忱分享与无私帮助，其深厚的理论功底与创新的研究思路，为本书的研究工作提供了重要启发；感谢鲁明教授、张祖锦教授在理论推导与结果验证中付出的辛勤努力，他们严谨的治学精神与细致的工作态度，确保了本书理论推导的准确性；感谢郭香香老师在合作研究中的默契配合与大力支持，携手攻克了诸多研究难题。
此外，最诚挚地感谢给予我无限支持与温暖的家人。感谢爱人徐菊的理解、包容与默默付出，多年来，她始终默默承担着家庭的重任，给予我充足的时间与空间潜心研究，是我学术道路上最坚实的后盾；感谢孩子郭坤一带来的欢声笑语与纯真温暖，他的成长与陪伴，让我在疲惫时总能重拾前行的勇气；感谢父母的养育之恩与始终如一的鼓励，他们的理解与支持，是我克服困难、坚定前行的力量源泉。正是有了各位前辈、同仁、家人的支持与帮助，本书才得以顺利完成，这份情谊，我将永远铭记于心。
本书得到国家自然科学基金、龙岩学院博士启动基金、龙岩学院校级项目（科技类）“带部分耗散效应的三维不可压旋转磁流体方程大初值解的适定性分析”的资助。

著者

第1章引言 001
1.1问题物理背景及相关研究001
1.2相关基础知识023

第2章不可压液晶方程组在临界Lebesgue空间的局部适定性和时空正则性 026
2.1引言026
2.2预备知识027
2.3局部存在性和局部解的时空正则性032

第3章不可压磁流体方程组在临界Besov空间的整体适定性与时空正则性 051
3.1引言051
3.2预备知识052
3.3临界Besov空间中的适定性和时空正则性056

第4章一类无磁扩散二维磁流体方程的大初值 整体光滑解 071
4.1引言071
4.2主要结论的证明077

第5章不可压磁流体方程组在BMO-1空间中带大初值解的适定性与时空正则性 082
5.1引言082
5.2预备知识084
5.3主要定理证明094
5.3.1解映射的有界性估计096
5.3.2证明是压缩映射097
5.3.3与的估计098
5.3.4局部解的延拓099
5.4时空解析性100

第6章不可压磁微极方程组在负指数Besvo空间的正则性准则 101
6.1引言101
6.2预备知识102
6.3负指数Besov空间中的正则性准则103

第7章三维不可压Boussinesq方程组的正则性准则 109
7.1引言109
7.2预备知识110
7.3主要定理的证明112
7.3.1水平方向项的估计112
7.3.2垂直方向项的估计114
7.3.3定理7.1的证明119

第8章三维不可压轴对称NS方程组在BMO?2解的适定性 120
8.1引言120
8.2主要定理证明124
8.3时空解析性质133

第9章旋转效应下具有部分耗散和大初值的三维不可压磁流体力学方程组的色散行为 135
9.1引言135
9.2预备知识142
9.2.1色散估计143
9.2.2非齐次系统的色散估计148
9.3近似系统151
9.3.1渐近系统151
9.3.2系统【式（9.2）】与近似系统【式（9.49）】之间的渐近行为154
9.4方程MHD解的存在性157

附录Navier-Stokes方程组推导 160
1前提假设与基本定义160
2基本物理量定义161
3守恒律162

参考文献 172